Wavelet and Linear Algebra

Abstract در این مقاله تعمیم تبدیل آلوثگ $\tilde{A}_{(f_1,f_2)}$ را برای عملگر نوعی $A$ که روی فضای هیلبرت $\mathscr{H}$ تعریف شده است را نسبت به دو تابع پیوسته $f_1$ و $f_2$ در نظر گرفته ایم و برای نگاشتهای  مقدماتی $\delta$ و $\Delta$ یک نوع قضیه فوگلد-پاتنام را مورد مطالعه قرار داده ایم. به طور خاص در بین نتایجی که به دست آورده ایم نشان داده ایم که اگر $(A,B)$ در شرط فوگلد-پاتنام صدق کند آنگاه $(\tilde{A}_{(f_1,f_2)},\tilde{B}_{(g_1,g_2)})$ نیز در آن صدق میکند.

Abstract این مقاله روی قاب های بازیاب نرم در فضاهای هیلبرت نامتناهی البعد متمرکز شده است و شرایط هم ارزی برای این قاب ها ارائه می دهد. همچنین نشان داده می شود پایه های ریس بازیاب نرم دقیقا همان پایه های ریس متعامد هستند و بطور خاص پایه های ریس بازیاب نرم یکه دقیقا همان پایه های متعامد یکه هستند. علاوه بر این نشان داده می شود که خاصیت بازیاب نرمی تحت آشفتگی پایا نیست.

Abstract     خانواده
    $(B_i)_{i=1}^m$
    را مهتر توأم خانواده
    $(A_i)_{i=1}^m$
    می‌نامیم هر گاه ماتریس تصادفی دوگانه
    $D$
    موجود باشد به طوری که
    $A_i=DB_i$
    برای هر
    $i=1,\ldots,m$.
    در این مقاله با کمک تعریف مهتری توأم رابطه مهتری را روی چندجمله‌ایهای ماتریسی تعریف می‌کنیم و سپس ساختار نگهدارنده‌های خطی مهتری توأم روی ماتریس‌ها و مهتری چندجمله‌ایهای ماتریسی را به دست می‌آوریم.
    برای بردارهای
    $x,y\in\mathbb{C}^n$،
    $y$
    را مهتر تعمیم یافته بردار
    $x$
    گوییم و می‌نویسیم
    $x\prec_{g} y$
    هر گاه ماتریس تصادفی دوگانه تعمیم‌یافته
    $D$
    موجود باشد به طوری که
    $x=Dy$.
    ثابت می‌کنیم ماتریس‌های تصادفی دوگانه تعمیم‌یافته در تناظر یک به یک با مجموعه تمام نگاشت‌های یکه و حافظ رد روی فضای ماتریسهای قطری است. در ادامه با کمک این حکم نتایج جالبی روی ماتریسهای به طور همزمان قطری شونده به دست می‌آوریم.

Abstract     در این مقاله، یک روش عددی برای حل رده‌ای از مسائل کنترل بهینه با مشتق مرتبه کسری ارائه می‌دهیم که دستگاه دینامیکی آن براساس مشتق کسری کاپوتو  تعریف شده است. برای این منظور،  با استفاده از تابع هامیلتونی و شرایط لازم برای بهینگی، مسئله کنترل بهینه با مشتق مرتبه کسری به یک دستگاه معادلات  جبری (غیر)خطی تبدیل می‌شود. برای حل این دستگاه، ابتدا متغیرهای حالت و کنترل مسئله را با استفاده از چندجمله‌ای‌های دیکسون تقریب می‌زنیم. سپس  با استفاده از نقاط کالوکیشن،  ضرایب مجهول تقریب‌های دیکسون  تعیین می‌شوند که در نتیجه جواب تقریبی مسئله‌ی اصلی به‌دست خواهد آمد.  

Abstract     فرض کنید  $\mathbb{GL}_{2}(\mathbb{C})$  گروهِ ماتریس‌های وارون‌پذیر $2 \times 2$ روی میدان مختلط همراه با عمل ضرب معمولِ ماتریس‌ها باشد. دراین مقاله، فرم عمومی همه همریختی‌های پیوسته روی $\mathbb{GL}_{2}(\mathbb{C})$ تعیین شده است. همچنین به عنوان نتیجه‌ی قضیه‌ اصلی، فرم عمومی همه یکریختی‌های پیوسته روی $\mathbb{GL}_{2}(\mathbb{C})$ مشخص شده است.

Abstract     معادلات دیفرانسیل کسری در مدل‌سازی پدیده‌های مختلف در اغلب شاخه‌های علوم نقش حائز اهمیتی دارند. در این مقاله، به کمک تعریف توابع شبه بلاک پالس، ماتریس عملیاتی انتگرال کسری برای توابع مقیاس موجک دابیشز معرفی و با استفاده از آن یک روش عددی برای حل دسته‌ای از معادلات دیفرانسیل کسری بیان می‌شود. هم‌چنین آنالیز خطا ارائه و کاربرد روش در دو مثال نشان داده می‌شود.

Abstract     در این مقاله، ما نتایجی جدید در بازیابی ضعیف فاز توسط بردارها در فضاهای متناهی هیلبرت حقیقی
    $\mathbb{R}^2$،
    $\mathbb{R}^3$
    و
    $\mathbb{R}^4$
    ارائه خواهیم داد.  ابتدا مفهوم بازیابی ضعیف فاز توسط بردارها را به طور مفصل توضیح می‌دهیم و نشان می‌دهیم خانواده قاب‌های دو عضوی بازیاب ضعیف فاز در
    $\mathbb{R}^2$،
    در خانواده قاب‌های  دو عضوی در  
    $\mathbb{R}^2$
    چگال نیستند.  
    همچنین نشان خواهیم داد قاب‌های بازیاب ضعیف فاز در 
    $\mathbb{R}^3$
    همانند 
    $\mathbb{R}^2$
    فاقد هر گونه مضربی از بردارهای پایه استاندارد هستند.

Abstract     در این مقاله، با استفاده از توابع موجک لژاندر، روشی را ارائه می‌کنیم که برای حل مسئله مقدار مرزی مرتبه ۴ منفرد با شرایط مرزی ترکیبی، موثر و قابل اجرا می‌باشد. ابتدا خواص توابع موجک لژاندر را بیان می‌کنیم و سپس با استفاده از پایه‌های موجک متعامد در فضای $L^2[0,1]$، پایه‌های موجک در فضای $W_2^5[0,1]$ را به‌دست می‌آوریم که برای ساختن روش فوق به کار می‌روند. جواب $\varepsilon$-تقریب را معرفی می‌کنیم و ثابت می‌کنیم که این جواب یک جواب بهینه است. بعلاوه همگرایی و پایداریی روش فوق را در فضای $W_2^5[0,1]$ بررسی می‌کنیم. برای نشان دادن کارایی و دقت روش فوق دو مثال عددی را با این روش حل می‌کنیم.

Abstract     در این مقاله به بررسی نامساوی حالت برداری هولدر-مک‌کارتی می‌پردازیم و با استفاده از بهبود این نامساوی، ‌سعی می‌کنیم برخی نامساوی‌های شناخته شده‌ی حالت برداری را بهبود بخشیم. به‌ویژه،  تخمین دقیقی از نامساوی مثلث  برای $p$-نرم‌ها روی بردارها 
    برای 
    $( \mathbf{\mathrm{u}},\mathbf{\mathrm{v}}\in \mathbb{R}^n)$
را    به صورت
    \begin{align*} 
    \left(\frac{\|\mathbf{\mathrm{u}}+\mathbf{\mathrm{v}}\|_p}{\|\mathbf{\mathrm{u}}\|_p+\|\mathbf{\mathrm{v}}\|_p}\right)^p\begin{cases}
    \leq 1 - \alpha (p) \left\|\mathbf{\mathrm{w}}\right\|_p^p& \,\, p\geq 2;\\
    \geq   1 - \alpha (p) \left\|\mathbf{\mathrm{w}}\right\|_p^p & \,\, 1\leq p\leq 2;\\
    =   1 - \alpha (2) \left\|\mathbf{\mathrm{w}}\right\|_2^2 &\,\,  p=2,
    \end{cases}
    \end{align*}  
 بیان می‌کنیم که در آن $\alpha(p)$ ضریبی بر حسب دو بردار است. 

Abstract     برای حل مشکلاتی که در کاربرد قاب در زمینه های مختلف علوم به وجود می‌آمدند انواع مختلفی از قاب معرفی شدند. به دلیل مشکلاتی مانند گم شدن یا جابجایی ضرایب قاب که در حین انتقال سیگنال اتفاق می افتاد قاب‌های با اضافی یکنواخت پدیدآمدند. ضرب تانسوری عنصر اصلی در پردازش سیگنال، به منظور گسترش روش‌های یک بعدی در فیلترگذاری و فشرده سازی صدا، به ابعاد بالاتر و استفاده از آنها در پردازش تصاویر است. در این مقاله، روشی برای ساختن قاب‌های با اضافی یکنواخت به کمک ضرب تانسوری قاب‌ها معرفی خواهد شد و به کمک معیار کمی حشو به مقایسه این روش با روش‌های دیگر ساختن قاب‌های با اضافی یکنواخت که بر اساس اجتماع قاب‌ها بیان شده است، ارائه می شود.