هر
$C_0$
-نیم گروه
$\mathcal{T}=\{T(t)\}_{t\geq 0}$
از عملگرهای خطی روی فضای باناخ $X$، را می توان به عنوان یک سیستم دینامیکی در نظر گرفت.
در این مقاله به مطالعه ی مدار یک نقطه، مفاهیم همپیوستگی و حساسیت نسبت به شرایط اولیه $C_0$- نیمگروه
$\mathcal{T}=\{T(t)\}_{t\geq 0}$
از عملگرهای خطی روی فضای باناخ $X$ خواهیم پرداخت.
فرض می کنیم که

\begin{align*}
& K_\mathcal{T} (x) =\{ y |t_i x\to y , \{t_i \} \subseteq \mathbb{R}^+ \text{ برای یک شبکه }\} \\
& L_\mathcal{T} (x) =\{ y |t_i x\to y , t_i \to \infty \text{ برای }\}\\
& J_\mathcal{T} (x) =\{ y |t_i x_i \to y , t_i \to \infty , x_i \to x \}\\
& A_\mathcal{T} (x) =\{ y : t_i x_i \to y , t_i \geq 0 , x_i \to x \}
\end{align*}
مثالهایی می زنیم که نشان می دهد مجموعه های فوق نمی توانند برایر باشند. ثابت می کنیم اگر $x\in J_\mathcal{T}(x)$ انگاه $J_\mathcal{T}(x) =A_\mathcal{T}(x)$.همچنین
$J_\mathcal{T}(x)=X$
اگر وفقط اگر
$A_\mathcal{T}(x)=X$، بعلاوه
$L_\mathcal{T}(x)=X$ اگر وفقط اگر
$K_\mathcal{T}(x)=X$.
اگر $x$ نقطه ی تناوبی باشد و
$0\in J_\mathcal{T}(x)$
انگاه
$-x\in J_\mathcal{T}(0)$.
همچنین برای چنین نقطه ای ثابت می کنیم که
$x+J_\mathcal{T}(0)\subseteq J_\mathcal{T}(x)$.
فرض کنیم
$X= M\oplus N$
که $M$ و $N$ زیرفضای بسته ی $X$ بوده و $T(t)M\subseteq M$ و $T(t)N\subseteq N$ . ثابت می کنیم که اگر $y_0\oplus y_1\in\mathcal{A}_\mathcal{T}(x_0\oplus x_1)$، انگاه
$y_0\in \mathcal{A}_{\mathcal{T}|M}(x_0)$
و
$y_1\in \mathcal{A}_{\mathcal{T}|N}(x_1)$.
همچنین اگر
$x\in M$،
انگاه
$K_\mathcal{T}(x)= K_{\mathcal{T}|M}(x)$
و
$\mathcal{A}_\mathcal{T}(x)\cap M=\mathcal{A}_{\mathcal{T}|M}(x)$.
که
$\mathcal{A}_\mathcal{T}(.)\in \{K_\mathcal{T}(.), J_\mathcal{T}(.), A_\mathcal{T}(.)\}$.

در ادامه شرایط معادل برای مفاهیم همپیوستگی و حساسیت به شرایط اولیه برای $C_0$-نیمگروه از عملگرهای خطی خواهیم پرداخت همچنین ثابت می کنیم اگر
$L_\mathcal{T}(x)\neq J_\mathcal{T}(x)$
و یا اینکه
$J_\mathcal{T}(x)= X$
انگاه
$\mathcal{T}=\{T(t)\}_{t\geq 0}$
نسبت به شرایط اولیه حساس خواهد بود