# نگهدارنده های خطی مهتر راست-چپ ماتریسی

Document Type : Research Paper

Authors

گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی سیرجان، ایران

10.22072/wala.2021.128186.1286

Abstract

ماتریس حقیقی و نامنفی $A$ یک ماتریس تصادفی سطری نامیده می شود، هر گاه مجموع درایه های هر سطر آن برابر با یک باشد. فرض کنید $x$ و $y$ دو بردار در فضای برداری $\mathbb{R}_n$ باشند. گوییم بردار $y$ مهتر راست-چپ بردار $x$ است و می نویسیم $x\prec_{rl} y$، هرگاه دو ماتریس مربعی و تصادفی سطری مانند $A$ و $B$ وجود داشته باشد بطوریکه $x=yA$ و $x^t=By^t$. گوییم تبدیل خطی  $T : \mathbb{R}_n\longrightarrow \mathbb{R}_n$ نگهدارنده خطی رابطه  $\mathcal{R}$ است هرگاه $x\mathcal{R}y$ نتیجه دهد $T(x)\mathcal{R}T(y)$. در این مقاله خواص مهتری های راست-چپ ماتریسی روی فضای $\mathbb{R}_n$ را بررسی نموده ایم و همه نگهدارنده های خطی رابطه مهتر راست-چپ $\prec_{rl}$ روی فضای بردارهای $n$ بعدی را مشخص کرده ایم. در حقیقت نشان داده ایم که برای $n\leq 3$ نگهدارنده های خطی رابطه مهتر راست-چپ ماتریسی $\prec_{rl}$ و نگهدارنده های خطی رابطه مهتر چندگانه ماتریسی  $\prec_{m}$ یکسان می باشند ولی برای $n\geq 4$ چنین نیست.

Keywords

#### References

 ع. آرمندنژاد، مروری بر مهترهای عادی و تعمیم یافته و بررسی ساختار نگهدارنده های خطی آنها، فرهنگ و اندیشه ریاضی،
45
(1389)، 31-40.
 T. Ando, Majorization and inequalities in matrix theory, Linear Algebra Appl., 199 (1978), 17-67.

 A. Armandnejad and Z. Gashool, Strong linear preservers of g-tridiagonal majorization on $\mathbb{R}^n$, Electronic
Journal of Linear Algebra, 123 (2012), 115-121.

 A. Armandnejad, S. Mohtashami, and M. Jamshidi, On linear preservers of g-tridiagonal majorization on
$\mathbb{R}^n$, Linear Algebra and its Applications, 459 (2014), 145-153.

 A. Armandnejad and A. Salemi, On linear preservers of lgw-majorization on $\text{M}_{n,m}$, Bulletin of the Malaysian
Mathematical Society, 35(3) (2012), 755-764.

 R. Bahatia, Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York, 1997.

 L.B. Beasley, S.G. Lee and  Y. H. Lee, A characterization of strong preservers of matrix majorization, Linear Algebra and
its Applications, 367 (2003), 341-346.

 R.A. Brualdi and G. Dahl, An extension of the polytope of doubly stochastic matrices, Linear and Multilinear Algebra
6(3) (2013), 393-408.

 H. Chiang and  C.K. Li,  Generalized doubly stochastic matrices and linear preservers, Linear and Multilinear Algebra,
53 (2005), 1-11.

 G. Dahl, Matrix majorization, Linear Algebra Appl., 288 (1999), 53-73.

 D.M. Francisco, G.M. Pedro and E.S. Luis E, Weak matrix majorization, Linear Algebra and its Applications, 403 (2005),
343-368.

 M.H. Hadian and A. Armandnejad, $B$-majorization and its linear preservers, Linear Algebra and its Application, 478
(2015), 218-227.

 A.M. Hasani and A. Ilkhanizadeh Manesh, Linear preservers of two-sided right matrix majorization on
$\mathbb{R}_n$,  Adv. Oper. Theory, 3(3) (2018), 1-8.

 A.M. Hasani and M. Radjabalipour,  The structure of linear operators strongly preserving majorizations of matrices,
Electronic Journal of Linear Algebra, 15 (2006), 260-268.

  A.M. Hasani and M. Radjabalipour, On linear preservers of (right) matrix majorization, Linear Algebra and its
Applications, 423 (2007), 255-261.

 M. Marcus, All linear operators leaving the unitary group invariant, Duke Math. J., 26 (1959), 155-163.

 A.W. Marshall, I. Olkin and B.C. Arnold, Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications,  Springer, New York,
2011.

 F. Khalooei and A. Salemi, The Structure of linear preservers of left matrix majorization on $\mathbb{R}^p$, Electronic
Journal of Linear Algebra, 18 (2009), 88-97.