نگهدارنده های خطی مهتر راست-چپ ماتریسی

Document Type : Research Paper

Authors

گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی سیرجان، ایران

10.22072/wala.2021.128186.1286

Abstract


ماتریس حقیقی و نامنفی $A$ یک ماتریس تصادفی سطری نامیده می شود، هر گاه مجموع درایه های هر سطر آن برابر با یک باشد. فرض کنید $x$ و $y$ دو بردار در فضای برداری $\mathbb{R}_n$ باشند. گوییم بردار $y$ مهتر راست-چپ بردار $x$ است و می نویسیم $x\prec_{rl} y$، هرگاه دو ماتریس مربعی و تصادفی سطری مانند $A$ و $B$ وجود داشته باشد بطوریکه $x=yA$ و $x^t=By^t$. گوییم تبدیل خطی  $T : \mathbb{R}_n\longrightarrow \mathbb{R}_n$ نگهدارنده خطی رابطه  $\mathcal{R}$ است هرگاه $x\mathcal{R}y$ نتیجه دهد $T(x)\mathcal{R}T(y)$. در این مقاله خواص مهتری های راست-چپ ماتریسی روی فضای $\mathbb{R}_n$ را بررسی نموده ایم و همه نگهدارنده های خطی رابطه مهتر راست-چپ $\prec_{rl}$ روی فضای بردارهای $n$ بعدی را مشخص کرده ایم. در حقیقت نشان داده ایم که برای $n\leq 3$ نگهدارنده های خطی رابطه مهتر راست-چپ ماتریسی $\prec_{rl}$ و نگهدارنده های خطی رابطه مهتر چندگانه ماتریسی  $\prec_{m}$ یکسان می باشند ولی برای $n\geq 4$ چنین نیست.

Keywords


[1] ع. آرمندنژاد، مروری بر مهترهای عادی و تعمیم یافته و بررسی ساختار نگهدارنده های خطی آنها، فرهنگ و اندیشه ریاضی، 
 45
 (1389)، 31-40.
[2] T. Ando, Majorization and inequalities in matrix theory, Linear Algebra Appl., 199 (1978), 17-67.
    
[3] A. Armandnejad and Z. Gashool, Strong linear preservers of g-tridiagonal majorization on $\mathbb{R}^n$, Electronic 
     Journal of Linear Algebra, 123 (2012), 115-121.
    
[4] A. Armandnejad, S. Mohtashami, and M. Jamshidi, On linear preservers of g-tridiagonal majorization on 
     $\mathbb{R}^n$, Linear Algebra and its Applications, 459 (2014), 145-153.
    
[5] A. Armandnejad and A. Salemi, On linear preservers of lgw-majorization on $\text{M}_{n,m}$, Bulletin of the Malaysian 
     Mathematical Society, 35(3) (2012), 755-764.
    
[6] R. Bahatia, Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York, 1997.
    
[7] L.B. Beasley, S.G. Lee and  Y. H. Lee, A characterization of strong preservers of matrix majorization, Linear Algebra and 
      its Applications, 367 (2003), 341-346.
    
[8] R.A. Brualdi and G. Dahl, An extension of the polytope of doubly stochastic matrices, Linear and Multilinear Algebra
      6(3) (2013), 393-408.
    
[9] H. Chiang and  C.K. Li,  Generalized doubly stochastic matrices and linear preservers, Linear and Multilinear Algebra,   
      53 (2005), 1-11.
    
[10] G. Dahl, Matrix majorization, Linear Algebra Appl., 288 (1999), 53-73.
    
[11] D.M. Francisco, G.M. Pedro and E.S. Luis E, Weak matrix majorization, Linear Algebra and its Applications, 403 (2005), 
        343-368.
    
[12] M.H. Hadian and A. Armandnejad, $B$-majorization and its linear preservers, Linear Algebra and its Application, 478 
        (2015), 218-227.
    
[13] A.M. Hasani and A. Ilkhanizadeh Manesh, Linear preservers of two-sided right matrix majorization on 
       $\mathbb{R}_n$,  Adv. Oper. Theory, 3(3) (2018), 1-8.
    
[14] A.M. Hasani and M. Radjabalipour,  The structure of linear operators strongly preserving majorizations of matrices,  
       Electronic Journal of Linear Algebra, 15 (2006), 260-268.
    
[15]  A.M. Hasani and M. Radjabalipour, On linear preservers of (right) matrix majorization, Linear Algebra and its 
        Applications, 423 (2007), 255-261.
    
[16] M. Marcus, All linear operators leaving the unitary group invariant, Duke Math. J., 26 (1959), 155-163.
    
[17] A.W. Marshall, I. Olkin and B.C. Arnold, Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications,  Springer, New York,
       2011.
    
[18] F. Khalooei and A. Salemi, The Structure of linear preservers of left matrix majorization on $\mathbb{R}^p$, Electronic
       Journal of Linear Algebra, 18 (2009), 88-97.