Wavelet and Linear Algebra

Abstract Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$
be unital prime algebras and $\mathcal{A}$ contains a non-trivial idempotent $P_1$.
We consider a bijective map $\phi: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ which satisfies
\begin{equation*}
\phi (A.BoA)= \phi (A). \phi(B)o \phi(A)
\end{equation*}
for every element $A,B\in \mathcal{A}$, where '.' is a usual product and "$\circ$" is a Jordan product.

Abstract Let $\mathcal{B(X)}$ be the algebra of all bounded linear operators on a complex Banach space $\mathcal{X}$. In this paper, we determine the form of a surjective additive map $\phi: \mathcal{B(X)} \rightarrow \mathcal{B(X)}$ preserving the fixed points of Jordan products of operators, i.e., $F(AoB) \subseteq F(\phi(A) o\phi(B))$, for every $A,B \in \mathcal{B(X)}$, where $AoB=AB+BA$, and $F(A)$ denotes the set of all fixed points of operator $A$.

Abstract
    فرض کنید
    $\mathcal{B(X)}$
    جبر شامل تمام عملگرهای خطی کران‌دار روی فضای باناخ
    $\mathcal{X}$
    و
    $\phi:\mathcal{B(X)}\longrightarrow \mathcal{B(X)}$
    یک نگاشت جمعی دوسویی باشد که جفت عملگری باناخ را از دو طرف حفظ می کند. در این مقاله، نشان داده می شود که
    به ازای هر
    $A \in \mathcal{B(X)}$
    و
    $x \in \mathcal{X}$،
    اسکالرهای
    $\alpha , \beta \in \mathbb{C}$
    وجود دارند به طوری‌که
    $$\phi(A)x=\alpha x+\beta Ax.$$