Wavelet and Linear Algebra

Abstract  One of the popular methods of data clustering is spectral clustering. The main step of this method is constructing a graph representation of the data set and its similarity matrix. The similarity matrices which are constructed based on some important points not all data points, are among the main approaches. In this paper, the stationary distribution for a random walk on a weighted graph $G$ is considered to find anchor points of the data set. Then we build the similarity matrix based on the anchor nodes and the weighted random walk transition matrix. After that, spectral clustering is applied on the gained similarity matrix. We propose the theoretical discussions and then we evaluate our method on benchmarks.        

Abstract فرض کنید $B_s(H)$ جبر جردن همه عملگرهای خودالحاق کراندار روی فضای جدایی پذیر هیلبرت $H$ باشد. در این مقاله به بررسی همه نگاشت های جمعی و دوسویی $\phi:B_s(H)\longrightarrow B_s(H)$ که وارون دریزین عملگرها(درصورت وجود) را حفظ می نمایند، می پردازیم. نتیجه اصلی این مقاله به این شکل است که اگر برای هر عملگر تصویر $P$ روابط $\phi(\mathbb{R}P)\subset \mathbb{R}\phi(P)$ و $\phi(PB_s(H)P)= \phi(P)B_s(H)\phi(P)$ برقرار باشند، آنگاه عملگر یکانی یا پادیکانی $U:H\rightarrow H$
وجود دارد به طوری که $\phi(T)=UTU^*$، برای هر $T\in B_s(H)$.

Abstract
در این مقاله روش مانده مزدوج تعمیم یافته بلوکی برای حل معادله  سیلوستر مورد بررسی قرار می‌گیرد. این روش شامل دو تکرار بیرونی و درونی است، در تکرار درونی از روش مانده مینیمال تعمیم یافته بلوکی و در تکرار بیرونی از مانده مزدوج تعمیم یافته استفاده می‌شود. در تکرار درونی با حل یک دستگاه معادلات خطی با سمت راست چندگانه یک بردار جستجوی جدید به دست می‌آید، از تکرار بیرونی برای محاسبه  تقریب بهینه روی یک مجموعه  داده شده از بردارهای جستجو استفاده می‌شود. در اینجا در تکرار درونی از روش مانده مینیمال پیش شرط سازی شده برای حل دستگاه معادلات خطی استفاده می‌شود که باعث سریعتر شدن سرعت همگرایی می‌شود. در پایان مثال‌های عددی کارایی الگوریتم پیشنهادی و نوع ترکیب پیش شرط ساز با آن در مقایسه با بعضی روش‌ها نشان می‌دهند.

Abstract This paper introduces an inequality on vectors in $\mathbb{R}^n$ which compares vectors in $\mathbb{R}^n$ based on the $p$-norm of their
projections on $\mathbb{R}^k$ ($k\leq n$).
For $p>0$, we say $x$ is $d$-projectionally less than or equal to $y$ with respect to $p$-norm if $\sum_{i=1}^k\vert x_i\vert^p$ is less than or equal to $ \sum_{i=1}^k\vert y_i\vert^p$, for every $d\leq k\leq n$. For a relation $\sim$ on a set $X$, we say a map $f:X \rightarrow X$ is a preserver of that relation, if $x\sim y$ implies $f(x)\sim f(y)$, for every $x,y\in X$. All the linear maps that preserve $d$-projectional equality and inequality are characterized in this paper.