نامساوی‌ حالت برداری هولدر-مک‌کارتی و برخی نتایج آن

Document Type : Research Paper

Author

گروه ریاضی، دانشگاه بجنورد، استان خراسان شمالی، ایران.

10.22072/wala.2022.558037.1393

Abstract

    در این مقاله به بررسی نامساوی حالت برداری هولدر-مک‌کارتی می‌پردازیم و با استفاده از بهبود این نامساوی، ‌سعی می‌کنیم برخی نامساوی‌های شناخته شده‌ی حالت برداری را بهبود بخشیم. به‌ویژه،  تخمین دقیقی از نامساوی مثلث  برای $p$-نرم‌ها روی بردارها 
    برای 
    $( \mathbf{\mathrm{u}},\mathbf{\mathrm{v}}\in \mathbb{R}^n)$
را    به صورت
    \begin{align*} 
    \left(\frac{\|\mathbf{\mathrm{u}}+\mathbf{\mathrm{v}}\|_p}{\|\mathbf{\mathrm{u}}\|_p+\|\mathbf{\mathrm{v}}\|_p}\right)^p\begin{cases}
    \leq 1 - \alpha (p) \left\|\mathbf{\mathrm{w}}\right\|_p^p& \,\, p\geq 2;\\
    \geq   1 - \alpha (p) \left\|\mathbf{\mathrm{w}}\right\|_p^p & \,\, 1\leq p\leq 2;\\
    =   1 - \alpha (2) \left\|\mathbf{\mathrm{w}}\right\|_2^2 &\,\,  p=2,
    \end{cases}
    \end{align*}  
 بیان می‌کنیم که در آن $\alpha(p)$ ضریبی بر حسب دو بردار است. 

Keywords