روش کریلف بلوکی تو در تو بر پایه GCR برای حل معادله سیلوستر

Document Type: Research Paper

Authors

1 بخش ریاضی کاربردی، دانشکده ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه شهید باهنر کرمان، کرمان، ایران

2 دانشگاه تحصیلات تکمیلی صنعتی و فناوری پیشرفته کرمان، کرمان، ایران

10.22072/wala.2019.111807.1239

Abstract

در این مقاله روش مانده مزدوج تعمیم یافته بلوکی برای حل معادله  سیلوستر مورد بررسی قرار می‌گیرد. این روش شامل دو تکرار بیرونی و درونی است، در تکرار درونی از روش مانده مینیمال تعمیم یافته بلوکی و در تکرار بیرونی از مانده مزدوج تعمیم یافته استفاده می‌شود. در تکرار درونی با حل یک دستگاه معادلات خطی با سمت راست چندگانه یک بردار جستجوی جدید به دست می‌آید، از تکرار بیرونی برای محاسبه  تقریب بهینه روی یک مجموعه  داده شده از بردارهای جستجو استفاده می‌شود. در اینجا در تکرار درونی از روش مانده مینیمال پیش شرط سازی شده برای حل دستگاه معادلات خطی استفاده می‌شود که باعث سریعتر شدن سرعت همگرایی می‌شود. در پایان مثال‌های عددی کارایی الگوریتم پیشنهادی و نوع ترکیب پیش شرط ساز با آن در مقایسه با بعضی روش‌ها نشان می‌دهند.

Keywords


[1] S. Agoujil, A.H. Bentbib, K. Jabilou and E.M. Sadek, A minimal residual norm method for large-scale Sylvester matrix equations, Electronic Transactions on Numerical Analysis, 43 (2014) 45-59.
[2] Z-Z. Bai, Hermitian and skew-Hermitian spliting iteration methods for continuous Sylvester equations, Journal of Computational Mathematics, 29 (2011) 185-198.
[3] R.H. Bartels and G.W. Stewart, Solution of the matrix equation AX + XB = C, Algorithm 432, Communications of the ACM, 15 (1972) 820-826.
[4] P. Benner, R.C. Li, and N. Truhar, On the ADI method for Sylvester equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233 (2009), 1035-1045.
[5] A. Bouhamidi, and K. Jabilou, A note on the numerical approximate solutions for generalized Sylvester matrix equations with applications, Applied Mathematics and Computation, 206 (2008), 687-694.
[6] B.N. Datta and K. Datta, Theoretical and Computational Aspects of some Linear Algebra Problems in Control Theory, in: Computational and Combinatorial Methods in Systems Theory, eds. C.I. Byrnes and A. Lindquist,  Elsevier, Amsterdam, (1986), 201-212.
[7] E. de Sturler, Nested Krylov methods based on GCR, Journal of Computational and Applied Mathematics, 67 (1996), 15-41.
[8] E. de Sturler, Truncation strategies for optimal Krylov subspace methods, SIAM Journal on Numerical Analysis, 36 (1999), 864-889.
[9] M. Dehghan and M. Hajarian, Two algorithms for finding the Hermitian reflexive and skew Hermitian solutions of Sylvester matrix equations, Applied Mathematics Letters, 24 (2011), 444-449.
[10] G.H. Golub, S. Nash and C. Van Loan, A Hessenberg–Schur method for the problem AX + XB = C, IEEE Transactions on Automatic Control, 24 (1979), 909-913.
[11] A.El. Guennouni, K. Jbilou and A.J. Riquet, Block Krylov Subspace Methods for Solving Large Sylvester Equations, Numerical Algorithms, 29 (2002), 75-96.
[12] A.El. Guennouni, K. Jbilou and H. Sadok, A block version of BICGSTAB for linear systems with multiple right-hand sides, Electronic Transactions on Numerical Analysis, 16 (2003), 129-142.
[13] C. Hyland and D. Bernstein, The optimal projection equations for fixed-order dynamic compensation, IEEE Transactions on Automatic Control, 29 (1984), 1034-1037.
 [14] M. Khorsand Zak and F. Toutounian, Nested splitting CG-like iterative method for solving the continuous Sylvester equation and preconditioning, Advances in Computational Mathematics, 40 (2013), 865-880.
[15] J. Laub, M.T. Heath, C. Paige and R.C. Ward, Computation of system balancing transformations and other applications of simultaneous diagonalisation algorithms, IEEE Transactions on Automatic Control, 32 (1987) 115-122.
[16] Matrix Market, http:// math.nist.gov/ matrixMarket.
[17] J. Meng, H.B Li and Y.-F. Jing, A new deflated block GCROT(m, k) method for the solution of linear systems with multiple right-hand sides, Journal of Computational and Applied Mathematics, 300} (2016), 155-171. 
[18] J. Meng, P.Y. Zhu and H.B. Li, A block GCROT(m, k) method for linear systems with multiple right-hand sides, Journal of Computational and Applied Mathematics, 225 (2014), 544-554.
[19] T. Penzel, LYAPACK: A MATLAB toolbox for large Lyapunov and Riccati equations, model reduction problems, and linear-quadratic optimal control problems, software available at https://www.tu-chemnitz.de/sfb393/lyapack/.
[20] D.K. Salkuyeh and F. Toutounian, New approaches for solving large Sylvester equations, Applied Mathematics and Computation, 173 (2006) 9-18.
[21] H.A. Van der Vorst and C. Vuik, GMRESR: A family of nested GMRES methods, Technical Report 91-80, Faculty of Technical Mathematics and Informatics, Delft University of Technology, Delft, Netherlands, (1991).