مقدمه‌ای مختصر بر ماتریس‌ها و جبر خطی کواترنیونی و گروه‌های کران‌دار ماتریس‌های کواترنیونی

Document Type: Research Paper

Authors

گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه گلستان، گرگان، ایران

10.22072/wala.2018.85963.1170

Abstract

حلقۀ تقسیم کواترنیون‌ها به عنوان تنها حلقۀ تقسیم جبری ناجابه‌جایی روی میدان‌ اعداد حقیقی از اهمیت به سزایی برخوردار است. در این مقاله، نخست مقدمه‌ای مختصر بر ماتریس‌ها و جبر خطی کواترنیونی ارائه می‌دهیم، که ما را در پرداختن به گزارۀ اصلی مقاله یاری خواهد ‌کرد. گزارۀ اصلی مقاله روایت کواترنیونی قضیه‌ای از هرمان آوئرباخ است. به عبارت دقیق‌‌، ثابت می‌کنیم هر گروه‌ کران‌دار از ماتریس‌ها با درایه‌های کواترنیونی با گروهی از ماتریس‌های یکانی کواترنیونی مشابه است.

Keywords


[1] H. Auerbach, Sur les groupes born'es de substitutions lin'eares, C. R., Math., Acad. Sci. Paris, 195 (1932), 1367-1369.
[2] B. Bollob'as, Linear Analysis. An Introductory Course, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
[3] N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Integration II, Chapters 7-9 (translated from French into English by S.K. Berberian), Springer Verlag, Berlin, 2004.
[4] W. Burnside, On the condition of reducibility of any group of linear substitutions, Proceedings of the London Mathematical Society, 3(1) (1905),  430-434.
[5] P.M. Cohn, Skew Fields: Theory of General Division Rings, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[6] E. Deutsch and H. Schneider, Bounded groups and norm Hermitian matrices, Linear Algebra Appl., 9 (1974), 9-27.
[7] P.K. Draxl, Skew Fields, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.
[8] I.N. Herstein, Noncommutative Rings, Carus Mathematical Monographs, no. 15, The Mathematical Association of America, 1968.
[9] T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer Verlag, New York, 1991.
[10] T.K. Lee and Y. Zhou, On irreducible and transitive subalgebras in matrix algebras, Linear Multilinear Algebra, 57(7) (2009), 659-672.
[11] V.I. Lomonosov, H. Radjavi, and V.G. Troitsky, Sesquitransitive and localizing operator algebras, Integral Equations Oper. Theory, 60(3) (2008), 405-418.
[12] L. Mirsky, An inequality for positive definite matrices, Am. Math. Mon., 62(6) (1955), 428-430.
[13] H. Radjavi and P. Rosenthal, Simultaneous Triangularization, Springer Verlag, New York, 2000.
[14] L. Rodman, Topics in Quaternion Linear Algebra, Princeton University Press, New Jersey, 2014.
[15] L.A. Wolf, Similarity of matrices in which elements are real quaternions, Bull. Amer. Math. Sco., 42(10) (1936), 737-743.
[16] B.R. Yahaghi, On F-algebras of algebraic matrices over a subfield F of the center of a division ring,  Linear Algebra Appl., 418 (2006), 599-613.
[17] B.R. Yahaghi, On irreducible semigroup of matrices with traces in a subfield, Linear Algebra Appl., 383 (2004), 17-28.
[18] B.R. Yahaghi, Reducibility Results on Operator Semigroups, Ph.D. Thesis, Dalhousie University, Halifax, Canada, 2002.